简单导数学习笔记

极限与导数学习

极限

极限可以看做是当一个函数的自变量的值取到某个极限的值的时候,函数数值所逼近的一个值.

例如一个函数\(f(i)=\frac{x}{x+1}\),当\(x\)趋近于无穷的时候,\(f(i)\)趋近于\(\frac{1}{2}\).

\[\lim\limits_{n\to\infty}f(x)=lim\frac{x}{x+1}=\frac{1}{2}\]

极限的性质

比如一般的运算性质他都有……

像极限可加可减可乘可除性

\[\lim\limits_{x\to\infty}[F(x)+f(x)]=\lim\limits_{x\to\infty}F(x)+\lim\limits_{x\to\infty}f(x)\]

\[\lim\limits_{x\to\infty}[F(x)-f(x)]=\lim\limits_{x\to\infty}F(x)-\lim\limits_{x\to\infty}f(x)\]

\[\lim\limits_{x\to\infty}[F(x)*f(x)]=\lim\limits_{x\to\infty}F(x)*\lim\limits_{x\to\infty}f(x)\]

\[\lim\limits_{x\to\infty}\frac{F(x)}{f(x)}=\frac{\lim\limits_{x\to\infty}F(x)}{\lim\limits_{x\to\infty}f(x)}(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)\not=0)\]

加减乘除样样都行


导数

对于函数\(f(x)\)而言,他在\(x_0\)处的定义是:\(\lim\limits_{\delta x\to0}\frac{f(x_0+\delta x)-f(x_0)}{\delta x}\)

从几何意义上说,这个算出来的值是这个函数图像的切线的斜率.

所以如果这个函数图像中一段并不连续,那这一段的函数就无法求导.

连续的函数在定义域内每一个点都是可以求斜率的(即计算导数),意味着每一个\(x\)都会对应对应一个导数,如此这样形成了一个导数关系,这个关系我们成为原函数的导函数,记作\(f'(x)\)

如何求导函数

按照定义我们把\(x_0\)带入到\(x\)里面,然后对这个式子求一个极限,就可以求出对应的导函数了.

举个例子,\(f(x)=x^{666}\),按照求导的方法.

\[\begin{aligned}f'(x)&=\lim\limits_{\delta x\to0}\frac{f(x+\delta x)-f(x)}{\delta x}\\&=\lim\limits_{\delta x\to0}\frac{(x+\delta x)^{666}-x^{666}}{\delta x}\\&=\lim\limits_{\delta x\to0}\frac{(x+\delta x)^{666}-x^{666}}{\delta x}\\&=\lim\limits_{\delta x\to0}\frac{\delta x^{666}+…+666x\delta x}{\delta x}\\&=\lim\limits_{\delta x\to0}(\delta x^{665}+…+666x)\\&=666x^{665}\end{aligned}\]

我后悔用666,意思到了就好了……那个666次方我就不展开了

然而事实上,对于\(f(x^a)\)这种幂函数求导,导函数就是\(f'(x)=ax^{a-1}\)

导数之间的运算关系

两个导数之间的线性关系:

\[ [a*f(x)+b*g(x)]’=a*f'(x)+b*g'(x)\]

两个导数之间相乘:

\[[f(x)*g(x)]’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\]

两个导数之间相除:

\[[\frac{f(x)}{g(x)}]’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}(g(x)\not=0)\]

复合函数的导函数:

\[[f(g(x))]’=f'(g(x))*g'(x)\]


函数表:

\[function\] \[val\]
\[c’\] \[0\]
\[x’\] \[1\]
\[(x^a)’\] \[ax^{a-1}\]
\[(e^x)’\] \[e^x\]
\[(a^x)’\] \[a^xln\ a\]
\[(ln\ x)’\] \[\frac{1}{x}\]
\[(log_ax)’\] \[\frac{1}{x\ ln\ a}\]
\[sin’x\] \[cosx\]
\[cos’x\] \[-sinx\]
\[tan’x\] \[\frac{1}{cos^2x}\]
\[cot’x\] \[-\frac{1}{sin^2x}\]

特殊技巧

一般的函数有导数之间的运算关系+定义+函数表就已经够应付了,但是总有一些特殊的函数没办法表示.

例如函数\(f(x)=x^{\frac{1}{x^2}}\).

我们需要用到对数来帮助我们求导.

可以从导数的性质得知,对于一个函数\(f(x)\)

\[[ln\ f(x)]’=ln’f(x)*f'(x)\]

也就是说

\[f'(x)=\frac{[lnf(x)]’}{ln’f(x)}\]

其实就是复合函数的求导方式……

我们可以利用这个性质来对之前的那个函数进行求导.


令\(y=x^{\frac{1}{x^2}}\)

左右同上对数.

\[ln\ y=\frac{ln\ x}{x^2}\]

对该式子取导.

\[\frac{1}{y}=-\frac{ln\ x}{x^2}+\frac{1}{x^3}\]

注意\(\frac{1}{x^2}\)可以看做一个幂函数,可套用幂函数取导公式取导.
里面也是一个复合函数,需用复合函数求导公式化简.

继续化简.

\[\frac{1}{y}=\frac{1-ln\ x}{x^3}\]

把上面这个式子记作(1)式.

注意最上面那个所谓复合函数求导方式.

\[[ln\ f(x)]’=ln’f(x)*f'(x)\]

可以发现,我们所需要的导函数\(f'(x)\)可以通过公式变形得到.

思考一下,这里写出来的(1)式的右边就是我们的一个复合函数的值,我们需要求导的是\(f'(x)\)而并非复合函数,所以我们变形一下.

\[f'(x)=\frac{[lnf(x)]’}{ln’f(x)}\]

还需要对(1)式除一个\(ln’f(x)\).就相当于对(1)式乘一个\(f(x)\),等号左边就是\(f'(x)\)

\[y’=\frac{1}{y}=\frac{x^2-2}{x^3}*y\]

\[y’=\frac{x^2-2}{x^3}*x^{\frac{1}{x^2}}\]

也就是.

\[f'(x)=\frac{x^2-2}{x^3}*x^{\frac{1}{x^2}}\]

也就完成了求导.

我们可以验证一下这个的性质.

带入\(x=e\)

\[y’=\frac{1-ln\ x}{x^3}\]

\[y’=\frac{1-1}{e^3}\]

\[y’=0\]

可得,\(x=e\)是导数\(f'(x)\)的一个极值点.


\\woc终于写完了……求爷爷告奶奶的最后一个天气爽朗的夜晚突然想通……
\\感谢资料:阮行止的导数pdf,某位神犇dalao的笔记


By:Wahacer

2018.1.16

14:14

发表评论

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注